Potencial mérito de uma configuração helicoidal toroidal


 

Fonte: (Tradução do link: https://www.laetusinpraesens.org/docs10s/helixtor.php)

Indicações preliminares são relevantes em relação à adequação da combinação toro-helicoidal para manter a dinâmica cognitiva e mudar as perspectivas. As indicações incluem amplo entendimento e desenvolvimento das seguintes perspectivas:

  • Ciclos : Existe um amplo interesse em ciclos , sejam ciclos de negócios, ciclos econômicos (mais longos e mais curtos), ciclos climáticos, ciclos sociais e históricos. Com relação à mudança, há interesse particular no ciclo adaptativo e nos desafios de sua navegação
  • continuidade e recorrência : Há interesse de um estilo diferente em "retorno", especialmente reconhecimento de " eterno retorno "
  • múltiplos ciclos : Claramente há um caso para explorar múltiplos ciclos, notavelmente aqueles em paralelo, assim como qualquer forma de deslocamento cíclico
  • Faseamento : Os ciclos destacam o interesse nas fases reconhecíveis que eles incorporam, ou seja, transições de fase dentro de um ciclo
  • significado tecnológico : Fundamental para a revolução industrial foi a transição para as tecnologias eletromecânicas e de rádio:
    • projeto de corda : o enrolamento claramente helicoidal tem sido essencial para reforçar a força das cordas
    • molas : tipicamente enrolamentos helicoidais em molas estão em forma linear ao invés de toroidal
    • dínamos : bobinas helicoidais, normalmente exigindo enrolamentos toroidais, são fundamentais para a geração de eletricidade
    • motores : bobinas helicoidais, tipicamente em forma toroidal, são fundamentais para a transferência de eletricidade em movimento
    • Antenas : recepção e transmissão de sinais de rádio podem exigir antenas de forma helicoidal e / ou toroidal
  • significado biológico : Isto é mais notavelmente evidente na relativamente recente descoberta da espiral enrolada da molécula de DNA tão vital para a replicação genética (como discutido abaixo)
  • design estético : Há uma longa tradição, e exploração contínua, de desenhos circulares para anéis, pulseiras e colares - notavelmente envolvendo um grau de entrelaçamento de linhas ao redor do círculo (como anéis de nó, anéis de cabeça)
  • transportando a cabeça : Em muitos países, a carga na cabeça é uma prática comum. Isso pode envolver um design particular do anel de cabeça, possivelmente exigindo uma forma de tecer ou trançar (Jessica Dweck, Head Case: a arte e a ciência de carregar as coisas em sua cabeça , Slate) .

Configuração de uma hélice toroidal

Como observado na conclusão dos experimentos anteriores, parecia haver valor em explorar as configurações sugeridas pelo seguinte. No entanto, também ficou claro que havia uma extensa literatura sobre bobinas helicoidais (e molas), mas referências relativamente limitadas à sua forma toroidal - especialmente no que diz respeito à sua renderização usando aplicações 3D.

Representações ilustrativas de uma hélice circular
Corda quoit Hélice de duplo giro Circular helix Nó torus

Seguindo os experimentos anteriores com 5 nonagons, a abordagem prevista era ter 5 enrolamentos helicoidais ao redor de um toro comum - cada enrolamento deveria ser entendido como um nonagon. No entanto, ao invés de os nonagons serem de forma poligonal (ou poliédrica), a preocupação era como combinar os padrões de 5 e 9 vezes em uma visualização esteticamente agradável, por razões articuladas no artigo anterior ( Configuração significativa criada apenas por tacito). entrelaçamento estético , 2016).

Como observado em relação aos experimentos anteriores, um certo grau de orientação foi gentilmente cedido por Sergey Bederov, desenvolvedor sênior de Cortona3D . O último é um plugin da web que permite renderizações em navegadores web de modelos 3D de acordo com o padrão de realidade virtual (VRML) herdado Os modelos foram desenvolvidos para esses experimentos usando a aplicação X3D Edit(nomeadamente de acordo com o X3D, um padrão mais recente) e exportado para o VRML. Os modelos fornecidos por Bederov (apresentados no artigo anterior) mostram que a representação 2D Discordiana não pôde ser apresentada em 3D de maneira consistente com a condição Borromeu. No entanto, ele forneceu uma alternativa que evocava a possibilidade de uma forma sinusoidal de nonagon - o foco deste documento.

Para esse fim, Bederov forneceu uma fórmula através da qual um nó toroidal poderia ser construído, consistente com a imagem à direita acima. Como é talvez mais evidente na imagem abaixo, isto aparentemente envolve 2 enrolamentos que são no entanto contínuos, não separados. É, portanto, meramente indicativo da necessidade de uma fórmula distinta para perseguir a configuração dos nonagons como aqui contemplada.

nó p , q ) -torus enrola q vezes ao redor de um círculo no interior do toróide, e p vezes ao redor de seu eixo de simetria rotacional. Se p e q não são relativamente primos, então temos um link de toro com mais de um componente. onde r = cos (q φ ) + 2 e r = cos (q φ ) +2 e 0 < φ <2 π e 0 < φ <2 π ~

Visualização de um nó toroidal (usando 201 linhas de coordenadas xyz)
Fórmula   x = rCos (p φ ) y = rSin (p φ ) z = -sin (p φ )
Planilha (A1 = 0) 
(ou seja, 12/201 = 0,062832)
A2 = A1 + 0,062832 B1 = SIN (A1) * (1 + COS (A1 * 4,5) * 0,3) C1 = cos (A1) * (1 + COS (A1 * 4.5) * 0.3) D1 = sen (A 1 * 4,5) * 0,3
Nó toroidal contínuo com 9 enrolamentos
(variantes interativas: X3D ou VRML )

Derivando coordenadas para uma hélice toroidal (toróide helicoidal)

Inspirado pelo exposto, a orientação para o formato single coiled foi (finalmente) localizada em uma resposta de Zev Chonoles ( Essas equações criam uma hélice envolta em um toro ? , Mathematics Stack Exchange , 8 de março de 2013.

Embora trivial do ponto de vista matemático, uma preocupação (como indicado acima) era como passar de uma fórmula para uma renderização 3D através de software apropriado, usando um conjunto de coordenadas que são esteticamente agradáveis ​​- no entanto, isso pode ser entendido nesse contexto. Alguns dos experimentos realizados para convergir nos parâmetros necessários para a fórmula são apresentados abaixo.

Os parâmetros chave são para uma hélice de n ventos envolvendo um toro de raio maior R e raio menor r - com t baseado no número de conjuntos de coordenadas xyz . A busca era pelo equilíbrio ideal entre esses quatro parâmetros - uma vez que as implicações de variar uma em relação à outra foram (finalmente) compreendidas. O processo foi limitado apenas pela competência modesta no uso de planilhas, na geometria e no software de edição 3D. A fórmula para as coordenadas em 3D é a seguinte:

Visualização de uma hélice toroidal (usando 201 linhas de coordenadas xyz, para 9 ventos; R = 6, r = 3)
 

Coluna A 
(A1 = 0)

Coluna B 
(coordenada x)
Coluna C 
(coordenada y)
Coluna D 
(coordenada z)
Fórmula   x = (R + rcos (nt)) cos (t) y = (R + cos (nt)) sin (t) z = r (sin (nt))
Planilha 
(ou seja, 2π / 201 = 0,062832)
A2 = A1 + 0,062832 B1 = (6 + COS (A2 * 9)) * (COS (A2)) C1 = (6 + COS (A2 * 9)) * (SIN (A2)) D1 = 3 * sen (A 2 * 9)

 

"Extremos" experimentais na busca de parâmetros desejáveis

 

A decisão finalmente tomada foi a seguinte, à luz do enfoque de 9 e 5 neste exercício:

  • dada a busca por uma solução estética, parecia apropriado fazer uso da razão áurea (simbolizada por Φ ) na busca de uma relação apropriada entre R (o raio maior) e r (raio menor) do toro. Isto sugeriu que R / r deveria ser 1,61803. Com R (arbitrariamente) especificado como 6, isto deu r = 6 / 1.61803 = 3.708.
    • dada a busca por um nonagon sinusoidal, as alternativas examinadas foram r = 3.708 / 3 = 1.2361, ou r = 3.708 / 9 = 0.412.
    • o último foi escolhido. Uso de Φ (1,61803) em R = 6, em seguida, r = 6 / 1,61803 = 3,708 ou 3,708 / 3 = 1,23607 ou 3,708 / 9 = 0,412
  • o número de enrolamentos foi definido pelo experimento como 9, consistente com o foco em nonagons
  • o número de conjuntos de coordenadas xyz apropriados para a visualização de uma bobina foi inicialmente estabelecido arbitrariamente em 201 (seguindo o modelo de Bederov). Quanto mais conjuntos, mais suave a renderização visual. Uma reflexão adicional sugeriu que o número de segmentos em uma determinada bobina poderia estar relacionado à ênfase de 9 vezes. Consideração foi dada para ter 9x9 (ou seja, 3 4 ), 3x27 (3 5 ) e 2x81 (2x9 2 ). A última foi finalmente escolhida, ou seja, 162, uma vez que deu 18 segmentos em cada loop sinusoidal (ou seja, 2x9 em cada meia volta).

As escolhas acima permitiram que 162 conjuntos de coordenadas xyz fossem construídos através de fórmulas de planilhas como segue, onde o número de conjuntos de coordenadas está relacionado a 2π (por 2π / 162 = 12.56638 / 162 = 0.07757). A fórmula para cada coluna foi então distribuída para A162

Coluna A 
(A1 = 0)

Coluna B 
(coordenada x)
Coluna C 
(coordenada y)
Coluna D 
(coordenada z)
  (R + rcos (nt)) cos (t) (R + cos (nt)) sin (t) r * sin (nt)
A1 + 0,7757 (R+r*COS(A1*9))*(COS(A1)) (R + r * COS (A1 * 9)) * (INS (A1)) r * SIN (A1 * 9)

A decisão adicional necessária foi o diâmetro do enrolamento sinusoidal em torno de um toróide invisível (a saber, um que não seria representado visualmente). Isso foi alcançado dentro da opção de extrusão do aplicativo X3D-Edit. As escolhas foram:

  • seção transversal do enrolamento sinusoidal: dado seu diâmetro relativamente pequeno, isso poderia ser definido por um polígono de um número limitado de lados. 5 foi escolhido
  • escala de seção transversal: esta foi reduzida para 30%
  • após o experimento anterior, 5 bobinas sinusoidais foram extrudadas e coloridas de forma distinta
Convergência na configuração desejada (com variantes interativas)
3 bobinas toroidais 
X3D ou VRML )
Bobina toroidal simples 
X3D ou VRML )
5 bobinas toroidais 
X3D ou VRML )

Possibilidades dinâmicas de visualizações 3D de um toróide helicoidal com múltiplos enrolamentos

A renderização 3D de um toróide enrolado com 5 nonagons sinusoidais (indicado acima) oferece possibilidades para explorar dinâmicas que poderiam ser adicionadas a ele. Isto implica escolhas relativas à posição e movimento das bobinas em relação umas às outras.

Uma abordagem era mover cada bobina para fora, no plano do toro, em um padrão pentagonal. Duas possibilidades foram exploradas:

  • movendo-os para fora para os lados do pentágono, iniciando uma rotação para fora do avião a partir de 50% do deslocamento. Cada bobina gira em torno de um lado do pentágono. Capturas de tela da seqüência são mostradas imediatamente abaixo
  • movendo-os para fora para as diagonais do pentágono, iniciando uma rotação para fora do plano a partir do limite desse deslocamento. Capturas de tela da seqüência são mostradas em um segundo conjunto de imagens abaixo
Animação de possíveis dinâmicas de configuração de 5 bobinas
(Variantes: X3D interativo ou VRML ; vídeos: MP4 ; MOV )
"Top views"
"Vistas laterais"
       

A abordagem adotada veio da possibilidade de que o enrolamento sinusoidal pudesse criar "janelas" durante o ciclo de rotação, o que corresponderia à condição não-tocante de Borromeu - se as bobinas estivessem apropriadamente desfasadas. Outras opções de parâmetros (bobinas mais finas ou mais finas, torus de maior diâmetro, etc) podem oferecer melhores possibilidades ou "janelas" maiores.

Movimento de esferas ao longo dos caminhos de uma hélice toroidal

Como parte de ambos os exercícios, a possibilidade de mover uma esfera ao longo do caminho definido por cada bobina foi explorada. As coordenadas da "coluna" da via extrusada foram utilizadas. O resultado é evidente a partir das imagens acima (e especialmente as animações). É também interessante mudar a visualização para o modo de estrutura de arame . Um dos propósitos deste exercício é parcialmente possibilitado pela consideração das esferas como um foco de atenção, seja individual ou coletivamente. Isso está relacionado a preocupações com a digitalização dos olhos de uma imagem.

Na primeira abordagem, a velocidade de movimento das esferas foi ajustada para coincidir com a do ciclo rotacional da animação (usando o mesmo "clock"). Claramente, o exercício pode ser levado adiante, aumentando a velocidade (usando um segundo "relógio"). De particular interesse é usar uma velocidade muito maior, na medida em que a localização de uma esfera não pode ser determinada a qualquer momento. Visualmente, o caminho de cada bobina é então definido principalmente pelo movimento das esferas e não pelo "túnel" constituído por cada bobina - especialmente no modo de estrutura de arame. As bobinas poderiam, de fato, ser tornadas transparentes, mesmo que apenas por uma parte do ciclo (evitando a necessidade de usar o modo wireframe).

Um dos propósitos desta abordagem decorre da possibilidade de que uma "condição borromeana" de um tipo seja definida pelo movimento das esferas, e não pelo movimento das próprias rotas. Em outras palavras, em vez de esperar uma condição na qual as bobinas não tocariam durante o ciclo, o foco seria então se as esferas colidiam durante o curso de seu movimento ao longo dos caminhos enrolados.

Usando as esferas para definir o ciclo é consistente com a via sinusoidal das bobinas, efetivamente ainda mais sugestivo de uma onda senoidal com suas implicações.

Implicações cognitivas potenciais do movimento helicoidal toroidal

Como enfatizado acima, um objetivo desta exploração é determinar se a dinâmica visualizada em 3D é sugestiva de formas frutíferas de mapear a complexidade em 3D - complexidade que é possivelmente difícil, se não impossível, visualizar em 2D. Algumas possibilidades são discutidas separadamente ( Implicação cognitiva das formas toroidais e dinâmicas , 2011)

A questão aqui é se os efeitos visuais oferecem insights integrativos que permitem que o conteúdo cognitivo seja associado de maneira abrangente a recursos da configuração. Como um "cálice sagrado" para este exercício, supõe-se que a condição borromeana - se puder ser engendrada por um conjunto particular de parâmetros - pode possivelmente oferecer insights específicos sobre viabilidade e sustentabilidade.

Metáforas relacionadas : Então, emoldurado, poderia ser dito (por exemplo) que a configuração é variadamente ilustrativa (ou reminiscente) de situações nas quais as "bolas" necessariamente não tocam e poderiam ser entendidas como geradoras de uma forma de "condição borromeana". Há uma mudança de perspectiva para os caminhos definidos dinamicamente - caminhos que são apenas "ocupados" com pouca frequência em qualquer local específico. Exemplos incluem:

Tecnomimicria, metáforas e simbolismo

Dinâmica das partículas de onda : Considerável referência é feita para "onda", "frequência" e "vibração" ("vibes") como metáforas em contextos psicossociais. Os aspectos foram explorados separadamente ( Ser uma forma de onda de potencial como uma escolha experiencial: qualidades dinâmicas emergentes de identidade e integridade , 2013; encontrar a alteridade como uma forma de onda - à luz de uma teoria ondulatória do ser , 2013; não ser acenando Nem divisão: implicações cognitivas da dualidade onda-partícula à luz da ciência e da espiritualidade , 2013)

A questão é se estas poderiam receber maior coerência e maior articulação através da configuração toroidal

Campo eletromiográfico rotativo : A chave para o desenvolvimento dramático das aplicações eletromagnéticas foi a visão criativa mais notavelmente fornecida por Nikola Tesla ( Robert Lomas , O Homem que Inventou o Século XX: Nikola Tesla, esquecido gênio da eletricidade , 1999).

Novamente, a questão é se algum desses insights se traduz em dimensões psicossociais, como discutido separadamente ( Reimaginando a criatividade de Tesla através da tecnomímica: empoderamento psicossocial imaginando condições carregadas , 2014; pensamento visual como indicado por Tesla e por sua consideração , 2014).

Fusão cognitiva : É apropriado notar que as esperanças de novas fontes de energia são notavelmente enquadradas pela fusão nuclear. Isto requer atualmente um reator toroidal através do qual o plasma é mantido afastado das paredes desse recipiente por anéis magnéticos. Estes controlam as instabilidades da dinâmica semelhante à cobra do plasma circulante.

A questão é se esses insights de design, mais informados por configuração helicoidal, oferecem maneiras de compreender as possibilidades futuras de um análogo cognitivo para energia psicossocial ( Enactivating a Cognitive Fusion Reactor: Transformação Imaginal de Recursos de Energia (ITER-8) , 2006; Complementaridade entre ITER -8 e o projeto de fusão ITER , 2006; Desmaterialização e Virtualização: comparação da fusão nuclear e fusão cognitiva , 2006; Fusão cognitiva através do Mito e Fabricação de Símbolos: dimensões arquetípicas , 2006).

Nesse caso, o "plasma" pode ser entendido como intimamente relacionado a uma "confusão" do que é convencionalmente conceituado em termos de atenção, confiança e crença.

Superenrolamento de DNA: Dada a extensão em que o enrolamento do DNA pode ser entendido como um laço estranho fundamental para a reprodução da identidade humana e a preocupação atual com a engenharia genética, a questão pode ser como incorporar tal complexidade formal a formas meméticas que assegurem a reprodução da identidade cultural humana ( DNA Supercoiling como padrão para a compreensão da psicossociedade , 2004; Escalada Esculturas Élficas : o DNA como uma metáfora macroscópica da psicodinâmica polarizada , 2007).

Malabarismo de categoria reformulado através da dinâmica de visualização

Insights of relevance to one purpose of this exploration are perhaps most appropriately framed by metaphor, given the manner in which it interrelates practical skills, distinction of patterns, aesthetics, coordination/collaboration, a challenge to comprehension, a degree of identification with the process, and mathematical insights into complex patterns.

Além dos argumentos de Burkard Polster ( The Mathematics ofJuggling , 2006), de particular relevância são aqueles de uma perspectiva cognitiva de George Lakoff (De onde vem a matemática: como a mente incorporada traz a seriedade da matemática , 2001). Também é apropriado notar aqueles com relação às placas de spinning do físico quântico Richard Feynmann (Ben Weinlick, Spinning Plates e The Serious Play de Richard Feynman , The Creativity Post , 6 de agosto de 2012).

Encarnação cognitiva : Qualquer envolvimento com malabarismo evoca o reconhecimento da maneira pela qual a cognição está profundamente envolvida no processo, daí a relevância particular dos argumentos de Lakoff, como previamente antecipado ( Filosofia na carne: a mente incorporada e seu desafio ao pensamento ocidental , 1999). No que diz respeito às preocupações deste exercício, a questão pode ser discutida de outra forma nessa luz ( Incorporação Existencial de Externalidades: engajamento cognitivo radical com categorias e disciplinas ambientais , 2009; Incorporação Estratégica do Tempo: configurando questões fundamentais para a mudança , 2010).

Relevância psicossocial do malabarismo como uma metáfora : Existem numerosas referências aos insights a serem obtidos do malabarismo como uma metáfora, como observado por Arthur Chandler ( Life Juggling , Juggler's World , 42, 1996, 4):

Eu vi o termo "malabarismo" em vários contextos ... Os artigos de jornal são "Juggling Family and Career" e os amigos falam de "fazer malabarismos com muitos compromissos". O público em geral parece estar adotando o malabarismo como uma figura de linguagem por tentar manter partes da vida em sincronia umas com as outras. O malabarismo, como uma metáfora dos anos 1990, representa a tentativa de alcançar um estado de equilíbrio dinâmico no qual vários compromissos contínuos são mantidos em equilíbrio através do esforço constante ... "Malabarismo" em 1991 tornou-se a metáfora dos maiores problemas da vida. não apenas os pequenos incômodos de esperar na fila no caixa, ou até mesmo ser auditado pelo IRS. "Life Juggling" é uma atividade defensiva.

Uma comparação perspicaz é feita por Venkatesh Rao ( Experiências de Equilíbrio entre Trabalho e Vida: Malabarismo, Fiação ou Surf? Ribbonfarm na percepção refatorada , 19 de setembro de 2007).

Eu encontrei três metáforas para o que a maioria das pessoas chama de "equilíbrio entre trabalho e vida". Estes são: malabarismo, manter vários pratos girando em varas e surfar. Cada um tem suas forças e falhas. Todos compartilham em comum os problemas que surgem de chamar a coisa toda de um problema de 'equilíbrio' em primeiro lugar, mas o ponto de vista do 'equilíbrio' tem alguns méritos.

Janet D. Stemwedel Empurrando a metáfora do malabarismo um pouco mais . Adventures in Ethics and Science , 31 de julho de 2007):

O ato de malabarismo, para aqueles de nós com carreira e bolas de família em jogo, não funciona se qualquer um cair no chão ... 
Mas se quisermos lidar com diferentes tipos de coisas em nossas vidas, a consciência de como essas fatias de nossa experiência é diferente uma da outra é parte da diversão: a sensação do cristal delicado, a maçã firme e fresca, ou a pegada gravada do bastão flamejante enquanto confiantemente pegamos e depois o enviamos de volta.

A Open University oferece um curso sobre gerenciamento de complexidade que apresenta malabarismo ( Systems Practice: descompactando a metáfora do malabarista ). Brendon M. H. Larson: Incorporando o caminho da sustentabilidade: reflexões sobre “aprender a fazer malabarismos” na pedagogia ambiental ( Journal of Environmental Studies and Sciences , 2015) revê os benefícios de ensinar os alunos a conciliar que incorpora o pensamento sistêmico, fundamenta metáforas ambientais, ajuda a transcender paradigmas e promove o bem-estar.

Outros exemplos incluem:

Prioridades do malabarismo : O uso comum do malabarismo como uma metáfora, como indicado no exemplo acima, é o sentido experiencial no qual as prioridades são manipuladas. As prioridades podem ser entendidas como iniciativas estratégicas, preocupações com problemas ou cultivo de valores. A metáfora é apropriada quando o número em cada caso (ou em conjunto) se torna um desafio para o manejo ou enfrentamento. Maior habilidade é necessária à medida que o número aumenta.

É interessante que um dispositivo muito comum para lidar com tal complexidade é através de alguma forma de agendamento, exigindo tipicamente uma planilha 2D. Isso é interessante porque essa ferramenta foi usada para configurar as visualizações descritas aqui. Dadas as questões de tempo envolvidas, é apropriado perguntar que padrões podem precisar ser projetados em 3D e 4D, ou mais, como especulativamente considerado em outro lugar ( Contabilidade Esférica: usando geometria para incorporar a integridade do desenvolvimento , 2004).

Em geral, e com relação a qualquer forma de governança, é de particular interesse observar o reconhecimento de estratégias / políticas de malabarismo, obrigações, conceitos / categorias ou fatores:

"Deixando cair a bola": Além de qualquer sentido de "manter a bola em jogo", é de particular interesse a experiência emoldurada por "deixar cair a bola" - necessariamente uma experiência comum em se envolver com desafios mais complexos de governar:

Tal falha pode resultar da falta de "pegar a bola" ou de não garantir que ela evite colidir com outra bola em jogo - gerando incompatibilidade ou um "choque".

Assim enquadrada, a existência de "janelas" de oportunidade torna-se de grande interesse - exemplificada pelas janelas de lançamento através das quais as espaçonaves são lançadas, como para evitar os milhares de objetos de detritos espaciais em órbita . Como a "janela cognitiva de lançamento" pode ser reconhecida - ou aquelas relacionadas a qualquer estratégia?

Desafio quantitativo: quantos padrões, bolas e parceiros? Como mencionado acima, a Wikimedia fornece acesso a 46 padrões (como animações gif) - distinguindo o número de "bolas" e malabaristas. Isso é esclarecido em uma tabela separada.

Em seu estudo, Burkard Polster explora a questão de quantas maneiras existem para conciliar - como sendo a pergunta mais frequente dos malabaristas. Sem resposta, sua resposta é infinita, mas com uma resposta preliminar ao efeito de que:

No entanto, ainda faz sentido pedir o número de sequências de malabarismo que são diferenciadas de alguma forma. Os três parâmetros mais naturais usados ​​para definir classes distintas de malabarismo são:

  • o número de bolas usadas para manipular uma sequência de malabarismo
  • o período de uma seqüência de malabarismo
  • a altura máxima de um lance em uma seqüência de malabarismo

Se apenas fixarmos o número de bolas, ou o período, ou uma altura máxima de lançamento, a classe resultante de seqüências de malabarismo ainda será infinita, exceto por algumas exceções triviais. Fixar o período p e a altura máxima de lançamento h produz uma classe finita de sequências de malabarismo. Claramente, não há mais que (h + 1) p tais seqüências. (p. 37)

Ele também oferece uma indicação mais complexa nos seguintes termos:

Números de sequências de malabarismo
(Burkard Polster, The Mathematics ofJuggling , 2006, p. 40) 
Veja a explicação da função de Möbius

Essas fórmulas também são discutidas por Steve Butler, et al ( Juggling Card Sequences , 6 de abril de 2015). A questão poderia ser enquadrada de outra forma através do extenso estudo dos padrões de passagemem outros esportes de bola, mais notavelmente futebol e basquete (Howie Long e John Czarnecki, American Football Passing Patterns )

De relevância aqui é a aparente ausência de consideração de restrição sobre o número de bolas que podem ser efetivamente manipuladas, principalmente porque elas podem estar relacionadas ao número de participantes entre as quais são passadas. Algumas restrições são evidentes a partir dos detalhes listados pela Wikipedia em relação aos registros mundiais de malabarismo . É curioso que o número de um indivíduo seja consistente com a restrição psicológica notoriamente destacada por George Miller ( O Mágico Número Sete, Mais ou Menos Dois: alguns limites em nossa capacidade de processar informação , Psychological Review , 1956). Como essa restrição pode se relacionar com um grupo limitado de indivíduos (ou um grupo de indivíduos limitados) é outra questão.

Diálogo como pontos de malabarismo, tópicos e temas : O vocabulário do discurso estabelece a relevância de uma perspectiva de malabarismo: "fazendo um ponto", "tomando um ponto", "bola na sua quadra", "até você", "perdendo o ponto" "e" soltando a bola ".

À luz da análise dos padrões de malabarismo, isso destaca a questão de quantos padrões de discurso podem existir, seja para duas pessoas ou para várias pessoas - dadas as limitações cognitivas e de coordenação - e ilustradas de forma útil pela bola 46. animações de passagem oferecidas pela Wikipedia ? Há registros de diálogos a serem reconhecidos por analogia com os do malabarismo mencionados acima?

Como observado por Polster em uma discussão de enumerar e criar novos padrões interessantes:

Usando algoritmos baseados nos resultados deste livro, os computadores foram programados para enumerar todas as sequências de malabarismo que satisfazem qualquer conjunto concebível de restrições. Muitas novas sequências interessantes de malabarismo foram encontradas dessa maneira. Como agora sabemos "todas" as possíveis sequências de malabarismo, o que resta a ser feito é identificar aquelas que, em si mesmas, são interessantes do ponto de vista de um malabarista ou de um matemático (pp. 137-138).

Com respeito aos padrões de diálogo, o comentário subseqüente de Polster é especialmente valioso: Além disso, se você quiser descobrir como mover suavemente de um padrão para outro, ferramentas como gráficos de estado são muito úteis . Um sumário acessível é fornecido por Harri Varpanen ( Toss e Spin Juggling State Graphs , 12 de maio de 2014). O uso de "spin" nesse título pode oferecer insights específicos para um mundo em que o diálogo é cada vez mais caracterizado por " spin ".

Notavelmente usando a metáfora de tecelagem, a qual Polster alude através da trança, o diálogo pode ser explorado de outra forma ( Entrelaçamento de Tópicos Temáticos e Caminhos de Aprendizagem: noonautics, tapetes mágicos e wizdomes , 2010; Variedades de Diálogo por Número: visão geral experimental por número de perspectivas representadas , 1998 ). Os processos de diálogo foram configurados em padrões 3D de tensegridade à luz dos insights da cibernética de gerenciamento por Stafford Beer ( Além da disputa: A invenção da equipe Syntegrity , 1994). O processo resultante de sintetização é descrito por Martin Pfiffner ( Do Workshop à Sintegração: o código genético da comunicação efetiva , 2004).

Experiência problemática de "ser malabarizado"? Claramente, uma perspectiva bem diferente é oferecida se houver uma sensação de "ser malabarizado", seja por obrigações, empregadores ou outras agências. Isso é tipicamente reconhecido em um sentido de "manipulação", que de fato seria a perspectiva do malabarista - possivelmente reconhecido como um mestre de marionetes.

A experiência da violência estrutural poderia ser explorada de maneira útil como a sensação de "ser malabarizado".

Controvérsia necessária engendrada e codificada por um padrão de contra-bobina?

Há muito se afirma que não há nada novo sob o sol . Curiosamente, no entanto, a criatividade de uma civilização baseada no conhecimento é caracterizada por múltiplas iniciativas para "redescobrir a roda", acompanhada de esforços desesperados para patentear a originalidade da descoberta, para franquear seu uso e associá-la possessivamente ao nome do descobridor. . Nem a menor humildade está associada às características de nomenclatura do universo (estrelas, montanhas, veículos, espécies) depois daqueles que afirmam tê-los descoberto.

Controvérsia : A bobina de Rodin oferece um notável estudo de caso sobre a natureza da controvérsia gerada por padrões não convencionais e seus descobridores. A "polícia do pensamento" tem decidido definitivamente sobre o padrão a partir de uma perspectiva convencional - a ponto de descrever sua apresentação (anonimamente) como o melhor exemplo das piores negociações do TED ( The Ugly Side of TED talks , Physicis Central , 1 Junho de 2012).

O processo é característica de mais inovação pôr em causa os padrões de ( "mainstream") o pensamento tradicional convencional, como também tem sido ainda mais notavelmente demonstrado pela extensa controvérsia sobre os argumentos de Ruper Sheldrake ( O Delusion Ciência , 2012) [ O debate sobre a palestra de Rupert Sheldrake , TED ; Rupert Sheldrake, A controvérsia do TED ]. Estes adquiriram fama através do editor de um eminente jornal científico, enquadrando sua apresentação original como " um livro apto para a queima ". Os grupos, reivindicando o papel de guardiões, definem-se efetivamente como assembleias dos justos - indistinguíveis, como tais, daqueles que eles depreciam.

Como ilustrado pela campanha presidencial dos EUA em 2016 , atualmente não existe praticamente nenhuma perspectiva a partir da qual a afirmação e a contra-afirmação possam ser proveitosamente exploradas , como um meio de transcender a característica de demonização mútua das culturas menos civilizadas do passado. A dinâmica problemática é, claro, também característica das relações entre (e dentro): ideologias políticas, disciplinas, religiões, culturas e línguas, como notavelmente esclarecido por Nicholas Rescher :

Durante séculos, a maioria dos filósofos que refletiram sobre o assunto foram intimidados pela disputa de sistemas. Mas chegou a hora de deixar isso para trás - não a disputa, isto é, que é ineliminável, mas a necessidade sentida de acabar de alguma forma em vez de simplesmente aceitá-la e dar um passo à frente ( The Strife of Systems: um ensaio sobre os fundamentos e implicações da diversidade filosófica , 1985)

A reação instintiva associada a essa "contenda" (justificada com maior ou menor sofisticação) é enquadrar o anormal como degradado (grosseiro), patológico (louco), maligno, heróico, inspirado (esteticamente ou espiritualmente), ou uma forma de gênio. Individualmente, ou em combinação, todos eles podem ser experimentados como constituindo uma ameaça (radical).

Negligência: O esforço para abordar essa dinâmica como um processo sistêmico é virtualmente indetectável. Aqueles que reivindicam habilidades para fazê-lo são prontamente percebidos como parte do problema por outros defensores de alternativas. O que foi dito sobre a psicoterapia também pode ser dito da resolução de conflitos ( James Hillman e Michael Ventura , Nós Tivemos Cem Anos de Psicoterapia - E o Mundo Está Pior , 1993).

O desafio é enquadrar um espaço (com uma dinâmica inerente) no qual a dinâmica entre visões contrastantes de certo e errado pode coexistir como sentidos concorrentes de auto-apreciação. Apesar das qualidades pelas quais é de outro modo muito apreciado, é evidente que o processo do TED não tem nem capacidade nem motivação para fazê-lo. Existe claramente um paradoxo problemático em se posicionar em qualquer "ponta de lança" ( Buscando a "Vanguarda" da Comunidade Sustentável , 1997).

Para empregar a linguagem divisiva da polícia do pensamento, o desafio é estruturar um espaço para incluir a mentalidade utilmente caricaturada pelo mito urbano de que alguns cientistas se engajaram em provar que as abelhas não podiam voar (desafiando as leis da física), ou pela realidade experiencial contundentemente enquadrada por Pablo Triana e Nassim Nicholas Taleb ( Lecturing Birds on Flying: Can Mathematical Theories Destroy the Financial Markets? 2009). Essas propensões são abordadas separadamente de maneira mais sistemática ( Processos de Conhecimento Negligenciados pela Ciência: insights da crise da ciência e crença , 2012).

Essa "negligência" é notavelmente evidente no deslocamento científico do foco da problemática dinâmica da vida na Terra em um investimento massivo na busca pela "vida" e "inteligência" alheias em outras partes do universo - com as justificativas mais questionáveis ​​( Desafios). Mais Difícil para a Ciência do que Ir a Marte - ou explorar as origens do Universo ou da Vida na Terra , 2014). Isto é igualado pela capacidade altamente limitada de compreender a vida e a inteligência consideradas "alienígenas" na Terra - além de erradicá-la - como admiravelmente demonstrado pelo caso da visão de mundo do jihadismo radical islâmico, enquadrado como totalmente estranho ( Erradicação como o Solução Final Estratégica do Século 21?2014). Essa inadequação implica uma incapacidade fundamental para se envolver com a "vida alienígena", como ela pode se manifestar na realidade ( Auto-reflexiva Incorporação da Integração Transdisciplinar (SETI): o critério universal de maturidade das espécies? 2008).

Mais interessante, no entanto, é o sentido em que a multidão de linchamento da mídia empilhando justamente Donald Trump de alguma forma engendra uma carga satisfatória nos participantes - quando a vítima é dilacerada. Isso é muito evidente em qualquer forma de frenesi alimentar e na dinâmica da psicologia das multidões . Independente da difamação da " matemática vortical " de Rodin, a exploração auto-reflexiva de uma contra-bobina poderia oferecer pistas para uma característica trágica de uma civilização supostamente madura baseada no conhecimento, que se deleita em gostar acrítico ("gostar") ou não gostar ("não gosta"). ).

Em termos sistêmicos, qual é o papel da "polícia do pensamento" de sistemas de crenças particulares, seja a Inquisição Católica (agora Congregação para a Doutrina da Fé ), a Mutaween Islâmica Comitê para a Promoção da Virtude e da Prevenção)? de Vice ), sistemas de revisão por pares de diferentes disciplinas, autoridades lingüísticas ou outros guardiões dos ortodoxos?

Distinção crítica : Dada a articulação de Marko Rodin, a preocupação aqui é dissociar a geometria do padrão das alegações quanto a sua importância por ele (e promovida de maneira diversa por seus partidários) - e várias vezes denegrida por seus críticos. O padrão é interessante por si só, notadamente em relação ao argumento apresentado acima.

Embora o padrão possa de fato convidar "compradores" de entusiastas especulativos, esse engajamento é outra questão. No entanto, também é uma questão de interesse como um padrão complexo pode funcionar como um atrator estranho e evocar controvérsia e oposição - especialmente se o descobridor se identificar possessivamente com ele. A bobina de Rodin é potencialmente de maior interesse em que o contra-enrolamento que ela incorpora poderia ser considerado como um modelo em algum grau das complexas controvérsias de governança, religiões e sistemas de crenças em geral - controvérsias que podem levar à violência de uma forma ou outro.

Descrição : Estão disponíveis várias descrições da bobina de Rodin (Marko Rodin, O Projeto de Solução de Rodin , Rodin Aerodynamics, 2001; Russ Blake, Análise da Rodin Coil e suas Aplicações , SERI-Worldwide; Marko Rodin e Greg Volk, The Rodin Number Map e Rodin Coil , Proceedings of the NPA , 2010). Numerosas imagens de variantes da bobina estão disponíveis em sites, notadamente aqueles preocupados com a controversa possibilidade de "energia livre".

Rodin enrolando toroidal Contra-enrolamento experimental do reator de fusão nuclear

O interesse aqui vem da pergunta Existem simulações em 3D do campo magnético de uma bobina de Rodin? Yahoo Respostas ), do qual o seguinte foi considerado como a "melhor resposta":

Marko Rodin descobriu uma série de regularidades no sistema numérico decimal. Destes ele deriva sua "matemática Vortex". A matemática dos vórtices explica todas as operações matemáticas, os genes e a energia não decomposta. Essas regularidades são inerentes ao sistema por causa de sua base. Você pode encontrar regularidades semelhantes em outros sistemas que não o decimal ... 

A bobina de Rodin consiste em um par de fios enrolados em torno de um núcleo em forma de anel em um padrão de estrela. Rodin afirma que esse projeto particular, deduzido de sua teoria dos números, produz diferentes propriedades eletromagnéticas do que qualquer outra bobina - permitindo-lhe criar energia perpétua e, assim, quebrar as leis fundamentais da física. Rodin admite não ser capaz de construir essas bobinas ele mesmo - como ele "não é um engenheiro elétrico"]. Na ausência de qualquer prova científica, permanece, portanto, altamente questionável, para dizer o mínimo, se a bobina de Rodin tem alguma propriedade física especial. 

De acordo com Rodin, a bobina representa a geometria subjacente do universo, que extrai sua energia não decaída do vórtice, o zero.

Para uma visualização 3D da dinâmica toroidal de contra-enrolamento

Adaptando o método descrito acima, a questão é como introduzir uma "contra-bobina" na visualização (especialmente considerando as implicações cognitivas distintas do uso em qualquer mapeamento no estilo da mandala). Abordagens exploradas incluíram:

  • pseudo-contra-enrolamento :
    • invertendo o caminho ao longo do qual a hélice é extrudida para visualização, tornando as coordenadas x e z negativas em todos os conjuntos. Isso é suficiente para fornecer uma espinha ao longo da qual uma esfera pode ser movida na direção inversa (a partir daquela em uma hélice relacionada) - desde que a ordem dos conjuntos de coordenadas seja invertida na planilha. Embora a direção do movimento seja invertida, a hélice transformada está meramente defasada da variante não transformada, conforme indicado pela imagem central abaixo. Não é a variante de espelho necessária
    • inverter a direção de rotação em relação ao original, implica novamente um movimento oposto, mas novamente permanece uma semelhança entre os dois. Tal inversão de direção (mesmo que as esferas se movam em direções opostas) não atinge a condição de espelho requerida.
    • inverter a sequência das hélices componentes, nomeadamente invertendo o padrão das cores
    • combinando qualquer um dos itens acima
  • criar uma versão espelhada , obtida pela representação de uma coordenada negativa (x, y ou z) em todos os conjuntos, a fim de assegurar a distinção necessária entre uma hélice destra e uma hélice canhoto (o que não é alcançado pela abordagem anterior ).

Os resultados são indicados pelas imagens abaixo. Observe o contraste entre os enrolamentos direito e esquerdo.

Pseudo-contra-enrolamento
Bobina original em
torno de um torus invisível 
X3D ou VRML )
Adição de pseudo-contracolo
(hélices fora de fase, mas as esferas viajam 
em direções opostas) 
X3D ou VRML )
Adição de pseudo-counter-coil 
a padrão de 5 bobinas
 
(adição de preto somente de fase diferente) 
X3D ou VRML )

Dado o tempo gasto (pelo autor) para descobrir a técnica aparentemente trivial de como fornecer uma renderização 3D da variante destro da hélice, e a confusão gerada por modelos caracterizados por pseudo-contra-enrolamento e contra-rotação , é útil fornecer imagens das variantes. Como um propósito de todo o exercício é desencadear uma reflexão imaginativa sobre a complexidade da ordenação, uma variedade de representações é apresentada. Note que a qualidade das imagens e animações pode ser facilmente melhorada (tipicamente pela modificação das cores, mudando o ângulo de dobra dos nonagons extrudados, ou alterando a velocidade de rotação e / ou contra-rotação). Tais mudanças podem ser feitas em um editor de texto.

Clarificação do contra-enrolamento de imagem espelhada
Contra-rotação; não contra-enrolamento 
X3D ou VRML )
Imagens espelho da hélice Contra-rotação; não contra-enrolamento 
(imagem invertida)
canhoto destro
Contra-rotação; não contra-enrolamento 
X3D ou VRML )
Contra-rotação; não contra-enrolamento 
(variante)
Contra-rotação com contra-enrolamento 
X3D ou VRML )
Contra-rotação; não contra-enrolamento 
X3D ou VRML )
Contra-rotação; não contra-enrolamento 
X3D ou VRML )? Apenas 5
Contra-rotação com contra-enrolamento 
X3D ou VRML )

Tendo conseguido a habilidade de posicionar uma hélice de espelho contra-rotatória em relação ao seu complemento, o foco então mudou para a possibilidade de reverter para o experimento com aninhamento da hélice contra-rotatória dentro de seu complemento usando proporções baseadas em phi para a hélice externa .

Exemplos de aninhamento de peudo-contra-enrolamento no enrolamento
X3D ou VRML ) X3D ou VRML ) X3D ou VRML )
Exemplos de aninhamento de bobinas no enrolamento
X3D ou VRML )? X3D ou VRML )? helix_16_rot_m_ok?
     
     

Transformando veículos de identidade entre formas globais e toroidais

Globalidade : Num mundo esférico, intensamente preocupado com a "globalização", poder-se-ia perguntar como um toro poderia ser entendido como de alguma relevância. Na verdade, já é um desafio compreender o significado total da globalidade - apesar da ironia do foco generalizado nas bolas da variedade dos jogos de bola. Supostamente, eles fornecem um grau de visão experiencial complexa sobre a globalidade. Grande parte da geometria também pode ser entendida como uma busca por uma compreensão mais precisamente articulada dela ( Geometria Metafórica na Busca da Globalidade - em resposta aos desafios da governança global , 2009).

Essa exploração deu foco à questão de que geometria serve como veículo de identidade pessoal ou coletiva , sejam pontos, linhas, superfícies planas ou similares, como explorado com mais detalhes ( Envolvendo-se com a Globalidade - através de linhas cognitivas, circlets, coroas ou buracos , 2009). Claramente há um sentido em que as pessoas se identificam com um "ponto" ao fazer uma - ou com uma "linha" ao seguir uma linha de argumentação. A identificação com uma superfície é evidente no caso da propriedade da terra (em relação à qual há tanto conflito), ou com os volumes cúbicos de uma habitação ou local de trabalho. Mais geralmente é de alguma forma com uma "esfera" que a integridade da identidade pessoal está associada - e, portanto, um grau de ressonância com a globalidade?

Em um período de crise, marcar um "ponto" é claramente de valor relativamente limitado, como exemplificado por jogos de acusação ( Collective Mea Culpa? Você deve estar brincando! Eles são os culpados, não nós! 2015). A estratégia de enquadramento como busca de uma "linha" em particular pode ser tão questionável quanto a imagem icônica de uma bruxa montada em um cabo de vassoura ou a do dr. Strangelove, do comandante da aeronave Major TJ Kong, pilotando a bomba. O controle do "território" e do espaço poderia ser questionado como um análogo cognitivo à abordagem militar do domínio de espectro total (Bruce Gagnon. Estratégia do Pentágono para a Dominação Mundial: dominância de espectro total, da Ásia à África , Pesquisa Global , 2014) /

A questão pode ser apresentada de forma mais provocativa, questionando a possibilidade de associar qualquer "plano" - especialmente quando enquadrado convencionalmente por uma planilha - com uma compreensão da globalidade ( Contabilidade Esférica: usando geometria para incorporar integridade no desenvolvimento , 2004; Aderindo ao Plano de Deus). em uma sociedade global: problemas sérios emoldurados pelo papa de uma perspectiva transfinita , 2014). Dada a natureza misteriosa dos buracos, a provocação especulativa pode ser estendida ainda mais ( a visão mundial de um Santo Padre é necessariamente cheia de buracos? Misteriosos buracos negros teológicos gerando crises globais , 2014).

Veículos Toroidais : Uma indicação da relevância de um toro é que o globo planetário atravessa (e define) um túnel toroidal em torno de um sol vital para a vida naquele globo. O toro torna-se assim significativo a partir de uma perspectiva temporal - uma órbita que garante a dinâmica sistemicamente saudável das estações. Que o sistema solar está se movendo como um todo, com a órbita planetária traçando uma hélice, é uma questão diferente.

A interação entre essa órbita e o sol central tem sido um tema de reflexão, simbolismo e metáfora desde o início da civilização. Um exemplo impressionante é fornecido pelo símbolo do Ouroboros e sua relação com o sentido do eterno retorno . De relevância potencial, no entanto, é qualquer mudança da preocupação com a globalidade e sua representação distorcida nas projeções planares, para uma perspectiva que engloba a órbita toroidal e o misterioso papel do sol.

Nesse período de crescente reconhecimento de crises, uma questão é em que veículo (ou balsa salva-vidas) as crises podem ser frutiferamente navegadas? Uma poderosa imagem toroidal foi elaborada na forma de um donut da Oxfam (Kate Raworth, Um Espaço Seguro e Justo para a Humanidade: podemos viver dentro do donut ? , Oxfam, 2012). Isso serve como um dispositivo cognitivo para manter uma compreensão dos limites dos recursos planetários - outra noção geométrica. Esse argumento pode, no entanto, ser transformado em um aplicável às fronteiras cognitivas e psicossociais ( Explorando os Mistérios Ocultos do Doughnut da Oxfam: reconhecendo a negligência sistêmica de uma Cúpula da Terra , 2012; Reconhecendo os limites psicossociais da ação corretiva: restrições à garantia de um espaço operacional seguro para a humanidade , 2009).

Complexidade toroidal necessária : No entanto, um donut pode ser reconhecido como sendo excessivamente simplista em um contexto que exige a complexidade necessária em termos cibernéticos. Daí o argumento acima em termos de um complexo de hélices toroidais em relação dinâmica entre si. O significado pode ser associado de maneira viável a tal complexidade e mapeado de forma frutífera para fornecer um veículo para a identidade? Claramente, a visualização oferece um meio de tornar a complexidade compreensível que, de outra maneira, é articulada principalmente em equações matemáticas para poucos.

Como observado acima, um foco para o argumento pode ser expresso em termos do desenho toroidal requerido de um reator de fusão nuclear - do qual é reivindicado para propósitos de relações públicas que a "energia do sol" possa ser prontamente e eficientemente obtida. . Isso sugere o caso para explorar o projeto de um "reator" análogo de relevância para a energia psicossocial - seja individual ou coletivamente - como argumentado separadamente? ( Enactivating a Cognitive Fusion Reactor: Imaginary Transformation of Energy Resourcing (ITER-8) , 2006) )? Dada a referência ao Ouroboros, é deliciosamente irônico que uma preocupação particular no caso do reator nuclear seja enquadrada como contendo a dinâmica de "serpente" do plasma circulante.

Topologia : A referência ao investimento em tal tecnologia complexa baseada no toro sugere o mérito da exploração adicional da interação entre o toro e a esfera - explicada sucintamente pelas seguintes animações.

Animações de complexificação toroidal
Transformação Toro-para-Esfera Nó de trevo Clifford Torus
Animações reproduzidas da Wikipedia
Feito pelo usuário: Kieff   Feito por Jason Hise

A matemática, especialmente a topologia, tem uma ampla gama de insights de relevância potencial a esse respeito - além dos indicadores destacados acima. O que isso sugere em relação a veículos opcionais para identidade individual ou coletiva?

Especialmente intrigante é o sentido de um desafio cognitivo um pouco análogo a alcançar a órbita do globo - tanto conceitualmente (através de uma compreensão de globalidade e geometria esférica) quanto através da tecnologia requerida. Como argumentado, "technomimicry" pode muito bem oferecer um caminho para a inovação criativa.

Adequação de uma hiperesfera como veículo de identidade? Como observado acima, todas as razões são oferecidas para restringir qualquer senso de identidade às formas geométricas mais simples em 2D ou 3D. Coletivo pode incorporar estes em sinais heráldicos, símbolos em bandeiras ou estátuas. Além dos insights dos místicos, essa restrição foi desafiada por matemáticos (Ian Stewart, Flatterland , 2001; Dionys Burger, Sphereland: uma fantasia sobre espaços curvos e um universo em expansão , 1965). Especialmente relevante é a questão se Ron Atkin ( Homem Multidimensional: pode o homem viver em três dimensões? 1982).

As aventuras conceituais de matemáticos e astrofísicos são um convite para associar a identidade pessoal e coletiva a uma topologia cada vez mais complexa. hiperesfera (especialmente a esfera 3) é um exemplo do espaço dentro do qual uma Mandala Concordiana pode estar mais apropriadamente localizada para possibilitar qualquer senso de identidade. A possibilidade foi notavelmente destacada por Mark A. Peterson, apontando que a linguagem na Divina Comédia de Dante sugere que ele visualizou seu universo da mesma maneira ( Dante e o 3-Sphere , American Journal of Physics , 47, 1979; S. Lipscomb , Art Meets Mathematics na Quarta Dimensão , Springer, 2014, capítulo 2e extensa discussão disso, Dante e os 3-Sphere , Science e Philosophy Chat Forums ). Talvez apropriadamente, a esfera 3 é também conhecida como um glome - um termo empregado para o reino fictício do romance de CS Lewis ( Till We Have Faces , 1956).

Apesar de alguma articulação de percepções para aqueles que vivem em tal geometria, a principal inadequação dos insights dos matemáticos - é que eles naturalmente tendem a evitar qualquer exploração da incorporação da identidade neles ou por tais espaços. Este é o desafio articulado por George Lakoff e Mark Johnson ( Filosofia na carne: a mente incorporada e seu desafio ao pensamento ocidental , 1999) e no argumento subsequente (George Lakoff e Rafael Nuñez, de onde a matemática vem: como a mente incorporada traz a matemática em ser , 2001).

É nesse sentido que qualquer estudo da função organizadora do cérebro é especialmente valioso, como o de Arturo Tozzi e James F. Peter ( Atividade cerebral em uma hiperesfera ). Os autores observam que:

Os avanços atuais nas neurociências lidam com a arquitetura funcional do sistema nervoso central, abrindo caminho para teorias "holísticas" que melhoram nossa compreensão da atividade cerebral. Do vasto ramo da topologia, um conceito forte entra em jogo na compreensão dos sinais cerebrais, ou seja, mapeamento contínuo dos sinais em uma "hiperesfera": um espaço 4D equipado com uma forma semelhante a rosquinha indetectável por observadores que vivem em um mundo 3D. Aqui mostramos que o conectoma cerebral pode ser considerado como uma hiperesfera funcional ... Prevemos que esta introdução à hiperesfera cerebral seja um ponto de partida para uma avaliação adicional de uma quarta dimensão espacial nervosa, onde as operações mentais ocorrem tanto em condições fisiológicas como patológicas. A sugestão aqui é que o cérebro é incorporado em uma hiperesfera, o que ajuda a resolver mistérios de longa data sobre nossas atividades psicológicas, como a perplexidade mental e a recuperação da memória ou a capacidade de conectar eventos passados, presentes e futuros.

De particular relevância para o argumento acima, os autores oferecem as seguintes imagens ilustrando a estrutura de uma hiperesfera (ou glome). Eles observam que a forma do glome está sempre mudando, dependendo do número de círculos levados em conta (na imagem da esquerda) e suas trajetórias (veja o vídeo de Niles Johnson, A visualização da fibração de Hopf ). As outras imagens ilustra representação de um hiperesfera como duas esferas coladas ao longo de sua fronteira esférica, dando origem a um toro Clifford (veja animaçãoacima, mostrando uma projeção estereográfica de um toro de Clifford realizando uma simples rotação através do plano xz). A imagem à esquerda é uma ilustração sugestiva de como a periodicidade pode ser cognitiva incorporada, seja no caso da organização da música ou como elementos da tabela periódica.

Representações alternativas de uma hiperesfera
Arranjo de círculos em 4D Clifford Torus 2 esferas coladas

Tozzi e Peter também fazem uso de uma única imagem (uma fase do vídeo de Johnson, também figurando no Wikipédia um comentário sobre a fibrose de Hopf ), apresentada na animação seguinte usando valores de cor variáveis ​​como uma sugestão da dinâmica dentro da qual a organização do cérebro pode ser associado. O uso de uma técnica similar pode ser usado com relação à variedade de significância de Calabi-Yau de 6 dimensões para a teoria de supercordas , com a qual as dimensões extras do espaço-tempo são conjeturadas para serem associadas, assim como a simetria do espelho . Dada a sua relevância para as branas da astrofísica, tal especulação tem sido explorada em termos de correspondência hipotética entrebrane e cérebro global ( Compreensão Global de Brane que permite uma grande tenda dimensional maior? 2011).

Animações sugestivas de funcionamento cerebral de dimensão superior
Hipersfera (fibração de Hopf) Coletor de Calabi-Yau

Tais gatilhos para a imaginação são um lembrete da riqueza inexplorada dos politópicos 4D - também conhecidos como polychora ( Compreender as formas do tempo através de policórsulas uniformes quadridimensionais , 2015).

A abordagem típica da matemática também é um pouco enganadora, pois parece enfatizar a organização estática das estruturas em 4D (efetivamente instantâneos), quando a dinâmica pode ser especialmente significativa para a incorporação da identidade nela. É nesse sentido que as explorações da organização da música pelo cérebro são especialmente valiosas ( Dmitri Tymoczko , The Geometry of Musical Chords . Science , 313, 5783, 7 de julho de 2006, pp. 72-74; A Geometry of Music: harmony e contraponto na prática comum ampliada , 2011). Isso é discutido separadamente ( Engajar criativamente com hiperrealidade através da música , 2016).

É, portanto, de considerável interesse observar os resultados dos experimentos psicoacústicos de CL Krumhansl e EJ Kessler ( Rastreando as mudanças dinâmicas na organização tonal percebida em uma representação espacial de chaves musicais , Psychological Review , 1982) das relações inter-chave de todos os principais e as chaves menores podem ser representadas geometricamente em um toro - como mostrado por Benjamin Blankertz, Hendrik Purwins e Klaus Obermayer ( Perfis Q Constantes e Modelos Toroidais de Relações Inter-Chave - ToMIR , 1999) na imagem seguinte.

Representação geométrica das relações inter-chave 
de todas as chaves principais e secundárias 

(derivadas de experimentos psicoacústicos por Krumhansl e Kessler)
Representação geométrica das relações inter-chave de todas as principais e pequenas chaves da música
Para outras publicações relevantes, veja 
Laboratório de Cognição Musical

Seguindo os argumentos de Douglas Hofstadter ( Eu sou um Strange Loop , 2007; Gödel, Escher, Bach: uma trança eterna de ouro: uma fuga metafórica em mentes e máquinas no espírito de Lewis Carroll , 1979), o desafio para a organização coletiva pode ser entendido como a organização de tais loops em " hiperrealidade " como experientes ( Sustentando uma Comunidade de Strange Loops: compreensão e engajamento através da transformação do anel estético , 2010). Daí o argumento para articular padrões de organização global através da música ( A Singable Earth Charter, EU Constitution ou Global Ethic?2006).

Indiscutivelmente, há então um caso para apreciar as formas de "hipercompreensão", como pode ser argumentado de várias maneiras:

Dado que um dos métodos topológicos de "construção" de uma variante de 3 esferas de uma hiperesfera é entendido em termos de " colar juntos " os limites de um par de 3 bolas , o paradoxo cognitivo de relevância para a compreensão estratégica pode ser destacado. enquadrando a "cola" em termos de uma tira de Möbius como representada abaixo. A imagem foi discutida separadamente ( Incorporando auto-referência estratégica em uma conferência mundial de futuros: transcendendo o problema perverso engendrado pela projeção da negatividade em outros lugares , 2015).

30 Futuros Desafios Globais e de Conferências para a Humanidade
(adaptação autorreferencial dos 15 Desafios Globais do Projeto do Milênio)
30 Futuros Desafios Globais e de Conferências para a Humanidade

Atração temerosa de um buraco

Torção cognitiva através de um buraco? O desafio conceitual pode, no entanto, ser compreendido de maneira útil como envolvendo um grau de paradoxo e um reconhecimento do que não é imediatamente óbvio. Isso pode ser enquadrado como um "giro cognitivo" ( Configurando um foco para a consciência através de um giro cognitivo , 2015). Isso é potencialmente entendido em termos de auto-reflexividade e ordens superiores de feedback cibernético, como argumentado por Maurice Yolles e Gerhard Fink ( Genetic Agency Theory, Cybernetic Orders and New Paradigms , 2014). A torção pode ser parcialmente reconhecida através de imagens como as de MC Escher . Pode ser explorado através da topologia de nós ( Jacques Lacan , RD Laing), através do simbolismo dos nós celtas , com as restrições poéticas associadas de cynghanedd e representação matemática (Jessica Connor e Nick Ward, Teoria do Nó Celta , Universidade de Edimburgo, 2012).

Em sua forma mais simples, é nesse sentido que o  do toro é potencialmente de grande importância como veículo de identidade - especialmente através do mistério do buraco central com o qual está associado. A importância negligenciada de um "buraco" foi notavelmente discutida por Roberto Casati e Achille C. Varzi ( Holes e Outras Superficialidades , 1994) - com relação às fronteiras da metafísica, da geometria cotidiana e da teoria da percepção (como elas resumem na entrada em buracos na Enciclopédia Stanford de Filosofia ).

Os autores procuram responder a duas questões básicas: os buracos realmente existem? E se sim, quais são eles? Os filósofos normalmente gostam de expulsar buracos de seu inventário ontológico. Argumentando em favor da "existência" de tais ausências como entidades cognitivas de pleno direito, os autores examinam a ontologia dos buracos, sua geometria, suas relações parte-todo, sua identidade, seu papel causal e os modos como são percebidos. Na forma cilíndrica, os buracos são centrados em um eixo implícito, com o qual um "ponto" só pode ser associado dinamicamente - ou como uma sucessão de "pontos".

Então enquadrado, qual é a estranha atração do buraco que é um poderoso catalisador para o intercurso? Isso inclui o reconhecimento de um "buraco em um argumento" tipicamente enquadrado pejorativamente como uma falácia .

O significado pode ser parcialmente explorado através dos argumentos a respeito do curioso potencial do "nada" e do "desaparecido", como apresentado por Terrence Deacon ( Incomplete Nature: how mind emerged from matter , 2011), sob o título Nothing Matters :

Quando estudiosos ocidentais finalmente entenderam como as operações envolvendo o zero poderiam ser tecidas no tecido da matemática, elas ganharam acesso a novas ferramentas poderosas e sem precedentes para modelar a estrutura e a dinâmica do mundo físico. Por analogia, o desenvolvimento de uma metodologia científica que nos permita incorporar um papel fundamental para as possibilidades não atualizadas - restrições - na explicação de eventos físicos poderia fornecer uma nova e poderosa ferramenta para analisar precisamente uma parte do mundo que antes estava envolta em paradoxo. e mistério. A revolução matemática que se seguiu à compreensão da quantidade nula desse modo pode pressagiar uma expansão similarmente radical das ciências que estão mais intimamente associadas à existência humana. (pp. 540-541)

Curiosamente, o fascínio por um buraco é notavelmente experimentado em relação à configuração de pétalas em uma flor, explorada por Keith Critchlow ( The Hidden Geometry of Flowers: ritmos vivos, forma e número , 2011; O Mistério das Flores: a geometria sagrada de plantas , ressurgimento , maio / junho de 2012). O uso da metáfora oferece outros insights relativos ao buraco ( Floração da Civilização - defloramento da cultura: o fluxo como uma dinâmica experiencial necessariamente complexa , 2014). Como uma metáfora, o próprio buraco é claramente indicativo de insights estratégicos fundamentais ( Marrying Strategic White Holes with Problemmatic Black Holes , 2015).

Intercourse : Mais especulativamente, qual é o significado do buraco (goal, ou basket) de muitos jogos de bola - o estranho atrator que é uma preocupação tão primordial quanto um indicador simbólico (e meio) de pontuar competitivamente? Talvez provocativamente, por necessidade, como isso poderia ser entendido como um substituto inconsciente para o intercurso sexual - especialmente dado o empréstimo metafórico de "pontuação"?

A consideração de tal "buraco" poderia ser "enquadrada" pela seguinte configuração, compreendida em um grau apropriado através de suas associações metafóricas e simbólicas. Este pacote gráfico desenha objetos no plano hiperbólico usando o modelo Poincaré. A compreensão da significância central poderia ser mais associada à consideração matemática do disco de Poincaré e à tesselação do plano hiperbólicocom o qual está tão intimamente associado. como discutido separadamente em relação às imagens imaginativas de Escher ( padrões de comunicação global em um espaço hiperbólico de curvatura negativa , 2016).

W. Goldman, Triângulos Ultraideais , 2004   Escher

, 2004).

Inversão : De particular interesse é a relação cognitiva entre "dentro e fora" ou "sem e dentro", um tema de grande interesse para vários autores, incluindo Buckminster Fuller e Joseph Campbell ( Os Alcances Internos do Espaço: metáfora como mito e como religião , 1986).

Como discutido separadamente, a questão é como o processo experiencial de "ser virado de dentro para fora" através da relação sexual é compreendido ( Introversão Mundial através da Paraciclagem: potencial global para viver de forma sustentável "fora-dentro" , 2013; Transformação da visão de mundo de "dentro-fora" para "fora-dentro" , 2013; ¡"Definindo o objetivo 8 Refinando o subjetivo?!: Explicando a realidade 8 Incorporando a realização , 2011).

Tori interligado : Parece haver uma poderosa metáfora elétrica, curiosamente inexplorada, para o processo de intercurso e a energia que ela gera. Que alguma forma de energia é engendrada é, naturalmente, um tema de referenciais considerados marginais de uma perspectiva dominante incapaz de integrar essa perspectiva ao discurso politicamente correto. Exemplos incluem os insights associados ao sexo tântrico do hinduísmo e a consideração ocidental do desenvolvimento pessoal (Shiv Joshi, Intimidade Elétrica , Bem-Estar Completo , 19 de fevereiro de 2009).

Curiosamente, a relação é evidente através do uso de "acoplamento", tanto em um contexto elétrico e sexual. No primeiro, o acoplamento é uma interação entre dois componentes elétricos por indução eletromagnética, carga eletrostática ou ligação óptica. A sobreposição na terminologia vai muito além, notadamente através da referência explícita a conectores masculinos e femininos ( Sistemas Elétricos como Metáfora Guia para Estágios de Diálogo de Grupo , 2001; Modulando transformações cognitivas: metáforas elétricas e semicondução , 2012). solenóide comum e a representação visual de seus campos de energia podem ser considerados mais do que sugestivos - dado qualquer movimento em relação a ele que resulte em indução eletromagnética.

Dinâmica do entrelaçamento? Com relação à consideração aqui de um toro e seus enrolamentos helicoidais, há um caso para reconhecer a extensão em que o intercurso pode ser enquadrado pela dinâmica de dois toros, entrelaçados ou interligados, como explorados pelas seguintes imagens e animações elaboradas para um argumento separado ( Habilitando a sabedoria dinamicamente dentro dos Tori entrelaçados: ressonância necessária na arquitetura do conhecimento global , 2012; Compreensão da variedade necessária para a dinâmica psicossocial sustentável: transformando uma classificação de matriz em toros entrelaçados , 2006).

Capturas de tela de um modelo de realidade virtual dinâmica de toros entrelaçados 
(clique em cada variante para acessar e manipular em 3D; 
no visualizador gratuito Cortona VRML , clique com o botão direito do mouse para que as preferências mudem de / para a apresentação "wireframe")
Modelo de realidade virtual dinâmica de toros entrelaçados Toro vermelho tem um vórtice (anel de fumaça) dinâmico no modelo wireframe de toros interligados tori intertravado com faces
O Blue Torus tem uma dinâmica de roda no modelo
Animações de VRML por Bob Burkhardt . 

Em vez de assumir que os dois toros são simplesmente representações estáticas de conjuntos de categorias, há um forte argumento para levar em conta a dinâmica associada a muitas ocorrências de um toro em fenômenos naturais - de anéis de fumaça, através de contenção de plasma em reatores de fusão, para o ambiente de buracos negros. Qualquer coisa que defina a superfície de um toro pode ter duas dinâmicas: (a) ao redor do tubo do toro e (b) ao longo do tubo do toro.

Suponha que tal dinâmica possa ocorrer em ambos os toros quando interligados, o intertravamento é mais facilmente alcançado quando a direção da dinâmica em cada um é de modo a se reforçar mutuamente. Com efeito, a dinâmica em torno do tubo de um reforça a dinâmica ao longo do tubo do outro. Se os toros são entendidos como serrilhados (como na representação estética no papel original), então as serrilhas funcionam efetivamente como os dentes das engrenagens na interface entre os dois toros.

Outras percepções podem ser obtidas pela manipulação da variante X3D mais elegante e compacta do modelo (gentilmente desenvolvida por Sergey Bederov), ou o modelo VRML equivalente (acessível através do plugin Cortona3D).

O conteúdo cognitivo das duas matrizes "duplamente enroladas", potencialmente inter-relacionadas dessa maneira, pode então ser reconhecido em termos de uma situação dinâmica. Estes são os "modos preferidos de conhecer" (potencialmente emergentes dentro de qualquer sistema psicossocial) interagem com os "sub-sistemas" - percebidos como importantes (para entender e garantir o funcionamento de qualquer sistema psicossocial) - através da dinâmica do sistema psicossocial. mudando o contato na interface dos dois toros.

Quando, como notado acima, as dimensões do toro são diferentes, sua relação pode refletir desafios cognitivos correspondentes àqueles que o Kama Sutra delícia em articular por meio de eufemismo - quanto à relação entre parceiros de diferentes dimensões: machos (como coelho, touro ou cavalo ) e fêmeas (como corça, vaca ou elefante) [ mais ].

Configuração dinâmica de furos : Assim enquadrada, a dinâmica de vórtice (notavelmente qualquer anel de vórtice ) de engajamento com furos como atratores é muito sugestiva do engajamento cognitivo com qualquer forma de intercurso (como um "desconhecido"). pelo nó do trevo (mostrado abaixo). Tais considerações levantam a questão de saber se o desafio integrativo de muitas configurações merece a exploração como uma configuração de buracos ( Holiness enquadrada por uma configuração triangulada de buracos , 2014).

Anéis de Borromeu 
(notáveis ​​por suas implicações topológicas)
Nó de trevo
X3D ou VRML )
Epoché fenomenológica 
(explorada por Francisco Varela)


Muito mais especulativo é o sentido em que qualquer "outro" pode ser reconhecido como um "portal" ( People as Stargates: uma perspectiva alternativa sobre as relações humanas no espaço-tempo , 1996).

Desafio representacional da tabela periódica de elementos químicos

Na busca de um padrão de relevância para a Mandala Concordiana desse argumento, o pensamento de mais de um século em relação à ordenação de elementos químicos merece a mais cuidadosa atenção. Como uma tabela periódica, deveria, em princípio, implicar uma forma de ordem de relevância para qualquer compreensão da concordância global - especialmente à luz dos argumentos de George Lakoff e Rafael Nuñez (De onde a matemática vem: como a mente incorporada traz a matemática em ser , 2001). Sob essa luz, uma abordagem potencialmente frutífera é a compilação de Denis H. Rouvray e R. Bruce King ( A Matemática da Tabela Periódica , 2005).

A possibilidade foi discutida em exercícios anteriores ( Ajustando a Tabela Periódica das religiões, epistemologias e Espiritualidade - incluindo as ciências e outros sistemas de crenças , 2007; padrão periódico da vida humana: a tabela periódica como uma metáfora da aprendizagem ao longo da vida , de 2009; periódica Padrão do Saber Humano: implicação da Tabela Periódica como metáfora da ordem elementar , 2009). Estes levaram conta explícita do trabalho na generalização da mesa de Mendeleev original de Edward Haskell ( Força Moral de Ciência Unificada , 1972)

Essas explorações foram baseadas em uma investigação muito anterior usada para desenvolver um sistema de classificação internacional ( Classificação Funcional em uma Matriz Integrativa de Preocupações Humanas , 1982). Uma abordagem posteriormente tomada focou-se na possibilidade de transformar as limitações integrativas de uma "tabela" ou "matriz" em um padrão de maior integração, como implicado por um toro ( Compreensão da Variedade Necessária para a Dinâmica Psicossocial Sustentável: transformar uma classificação matricial em entrelaçada tori , 2006; "Matrícula" da matriz , 2010).

É apropriado notar que a frustração com as várias ordenações da tabela periódica resultou em cerca de 700 representações tridimensionais e tridimensionais de tabelas periódicas de elementos químicos (e isótopos) no espaço da web. Estes são coletados em um Banco de Dados de Formulações de Tabela Periódica . Isto inclui notavelmente um conjunto de formulações de Tabela Periódica Circular, Espiral e Helicoidal . Exemplos incluem o de Imran Ali, Mohd. Suhail e Al Arsh Basheer ( Classificação Periódica Espiral Avançada dos Elementos , 2016). O desafio é enquadrado por Aco Z. Muradjan ( Estrutura Matemática da Tabela Periódica , 2013):

A Tabela Periódica com uma nova estrutura numérica dupla, apresentada aqui, é uma tentativa de encontrar a forma de tabela que, de alguma nova maneira, representa a periodicidade e a simetria dos Elementos, com o Sistema Periódico como base. Além disso, esta estrutura de mesa laminar tetraédrica talvez se torne uma base para o desenvolvimento de uma nova estrutura de núcleo atômico. Este novo rearranjo do elemento químico é baseado na fórmula matemática cujo resultado é simples, duração dos períodos:

Com relação ao foco toroidal do argumento acima, de particular interesse é o de Rafael Poza ( Elements and the Magnetosphere , 2008).

Sistema periódico de elementos por Rafael Poza

A preocupação aqui é relacionar os desafios convencionais da representação com os desafios cognitivos da compreensão integrativa - aqueles que encorajam a exploração de uma Mandala Concordiana. Um argumento de ligação útil é fornecido pela abordagem de Edward Haskell, que é centrada no papel de um cardióide de coação, conforme ilustrado abaixo.

Compasso de Coação
Adaptado de Ed Haskell ( Círculo Completo: a força moral da ciência unificada , 1972)
Bússola de coacção Haskell

Dinâmica cardíaca cognitiva emoldurada por dois toros em 3D

Como um cardióide, a bússola de coacção de Haskell foi apresentada numa discussão separada da derivação matemática do "padrão do coração" potencialmente característica da aceitação cognitiva generalizada de cartas de jogar ( Localização Radical num Contexto Sistémico Global). , 2015). As distinções entre um "cardióide" e as convenções de "coração" representação foram destacadas. Essa discussão também incluiu a demonstração interativa de formas de coração em 3D com base em diferentes equações para renderizações cardióides ( Equations for Valentines , Wolfram Demonstrations Project).

Definindo o padrão do coração usando a proporção áurea ( phi )
Padrão de coração emoldurado por 4 círculos 
phi é a razão entre a separação dos centros dos círculos menores e os que separam os maiores)
Padrão de coração à esquerda sobreposto 
(destacando a relação com a forma da curva de distribuição de Gauss acima)
Coração definido em termos de phi Coração duplo e norma gaussiana


Animações 2D : Elas sugerem a possibilidade de animações 2D da dinâmica (circular) em torno da qual implicitamente enquadra um padrão de coração, como mostrado abaixo - e potencialmente sugestivo de uma dinâmica cognitiva análoga àquela entre as quatro "câmaras do coração". 

Várias animações 2D de dinâmica definindo as 4 condições do padrão de coração
usando seções transversais justapostas de dois toros 3D

Animações 3D : A imagem à esquerda sugere a possibilidade de uma renderização em 3D usando a justaposição de dois toros com seus raios principais relacionados por phi .

O padrão cardíaco resultante difere significativamente do cardióide convencional, mas lembra as cúpulas de muitas mesquitas - com as implicações cognitivas muito apreciadas que elas podem causar. Curiosamente apenas uma pequena proporção de mesquitas construídas aproxima-se daquela forma (mais especialmente na Malásia, mas incluindo o Taj Mahal), enquanto muitos cartões islâmicos o fazem em um grau muito mais alto em suas representações idealizadas de uma mesquita (para Ramadã e Eid ). As cúpulas das mesquitas mais construídas têm uma semelhança maior com o cardióide convencional - ornamentado com uma torre minimamente afunilada.

Antecipando-se a possibilidades de animação mais apropriadas para destacar o padrão do coração em 3D, a seguinte justaposição de chifre tori enquadra tal padrão em algum grau, dada a dificuldade de garantir a contiguidade. O movimento para dentro ou para fora do vórtice central é consistente com as animações nas seções cruzadas 2D acima - mesclando corretamente entre os toros superior e inferior.

Animação de dois chifres do maior raio na proporção de phi 
(2 das 4 variantes apresentadas nas animações 2D acima)
padrão de coração 3D implícito vertical padrão de coração 3D invertido implícito
Adaptação, com permissão, da animação de Wolfgang Daeumler ( Horn Torus )

As outras duas variações observadas nas animações 2D são inversões daquelas acima. A dinâmica rotacional no sentido horário e anti-horário (não indicada nas animações 2D) sugere que existem 8 padrões distintos que podem ser considerados.

Uma compreensão muito mais clara do padrão do coração embutido dentro ou enquadrado pelos dois chifres contíguos é evidente nas animações abaixo, embora estas não possuam as rotações longitudinais e latitudinais daquelas acima - que poderiam ser adicionadas. Observe que a alternância entre renderizações preenchidas e wrireframe é obtida durante a exibição.

Animações indicativas de incorporação de padrão de coração dentro de toros contíguos 
(Variantes: X3D: sem tori / com tori ; VRML: sem e com tori )
Padrão de coração na posição vertical 
(preenchimento preenchido)
Padrão de coração invertido 
(renderização de wireframe)
Modelos X3D e VRML gentilmente preparados por Sergey Bederov de Cortona3D

Curvas de Lissajous : Em relação ao toro da trompa, Wolfgang Daeumler comenta a apresentação das curvas de Lissajous na superfície, conforme ilustrado pela animação (abaixo). A forma visual dessas curvas é freqüentemente sugestiva de um nó tridimensional, e de fato muitos tipos de nós, incluindo aqueles conhecidos como nós de Lissajous , projetam para o plano como figuras de Lissajous. A animação abaixo é um pouco reminiscente das animações da hiperesfera que sugerem um funcionamento cerebral de dimensão superior (como apresentado acima).

Animação de curva de Lissajous 
no toro de chifre
Reproduzido, com permissão, de Wolfgang Daeumler ( Horn Torus )

Renderizações visuais do conjunto de Mandelbrot : Como observado na discussão anterior, é amplamente reconhecido que o cardióide corresponde intimamente ao maior " bulbo " das muitas representações visuais contrastantes do conjunto de Mandelbrot fundamentais para a ciência da complexidade - com todas as suas possíveis implicações cognitivas. ( Significado Psicossocial do Conjunto de Mandelbrot: uma fronteira sustentável entre caos e ordem , 2005). A variedade de renderizações apresentadas lá pode ser gerada usando o zoom interativo e o morpher do fractal de XaoSO padrão cardíaco mais abrangente pode corresponder mais de perto à curva que engloba tanto o "bulbo" maior quanto a extensão assintótica além do "bulbo" menor. Esta possibilidade é ilustrada como uma variante das animações 2D (acima).

Compreensão de dinâmicas complexas : Deve-se enfatizar que o argumento aqui está preocupado com o quão complexas são as dinâmicas a serem compreendidas e quais aproximações constrangedoras podem ser feitas no enquadramento do reconhecimento intuitivo delas . O uso do padrão de coração ereto oferece a sugestão de que as dinâmicas associadas ao maior toróide "abaixo dele" são de alguma forma implícitas ou virtuais. O uso do padrão de coração invertido oferece a sugestão complementar de que as dinâmicas implícitas ou virtuais estão de algum modo "acima" (como pode ser característico do uso dessa orientação na arquitetura do templo).

Mesma dinâmica complexa de maior dimensionalidade vista através de "projeções toroidais" distintas
concêntrico aninhado / lemniscado interligado / atado empilhado / intertravado
Coração definido em termos de phi
Modelo de realidade virtual dinâmica de toros entrelaçados

A organização fractal de qualquer renderização de conjunto de Mandelbrot e a dinâmica complexa implícita são necessariamente um grande desafio para a compreensão. O apelo generalizado do padrão do coração pode constituir um reconhecimento muito simplista disso - uma aproximação a um insight mais complexo, como sugerido pelas várias "projeções" acima. Como pode ser imaginado, a dinâmica da Mandala Concordiana, que é o foco deste exercício, não pode ser facilmente mapeada através de uma renderização 2D ou 3D.

Há, então, um argumento para reconhecer até que ponto o "vale" central do padrão cardíaco poderia estar associado ao foco entrópico no cardióide de Haskell (descrito acima), com a característica assintótica oposta associada ao seu foco negentrópico. Enquadrado por dois chifres torácicos (como na imagem à esquerda acima), o foco entrópico é definido pelo menor e o foco negentrópico pelo maior. Há ainda a vantagem desse enquadramento em que o torus menor enquadra o mistério de um buraco (talvez em seu sentido mais problemático?), Enquanto os quadros maiores um insight maior (mais positivo?) Associado ao infinito.

Tal enquadramento oferece a possibilidade de justapor um padrão inspirado na representação em 3D do "cardióide" de Haskell, entendido em termos cognitivos, com a proposta toroidal de Poza para a tabela periódica (como apresentada acima).

Mapas mentais simbólicos e histórias de aprendizado? Como um símbolo muito valorizado em uma sociedade que necessita de símbolos integrativos, há um caso para explorar como o padrão cardíaco pode ser integrado a uma história de aprendizado mais sistemicamente complexa, com uma variedade de caminhos e dinâmicas - um mapa mental mais extenso. Como um prelúdio para um modelo interativo adequado, o seguinte é um exercício desse tipo, usando uma configuração de 9 padrões de coração - seja configurado em um círculo ou empilhados verticalmente. Qualquer configuração desse tipo é melhor entendida como uma projeção de um sistema complexo.

Mapas mentais sistêmicos indicativos?

O empilhamento é sugestivo de uma hierarquia de sistemas, possivelmente de maior sutileza progressiva - a menor possivelmente associada a processos cibernéticos de primeira ordem, a mais alta com a mais sutil prevista pela cibernética e pelas ciências da sabedoria. Posicionar um padrão de coração a meio caminho entre os dois extremos permite que seja feita uma distinção entre os dois imediatamente contíguos (um conjunto de 3 dobras), entre os vizinhos 4 (um conjunto de 5 dobras), os vizinhos 6 (um conjunto de 7 dobras) , em contraste com a totalidade (um conjunto de 9 vezes). Polígonos apropriados são usados ​​para reforçar esse padrão. Os conjuntos menores poderiam ser entendidos como tendo restrições em sua sensibilidade mais sutil e / ou mais fundamental.

De particular interesse para a complexificação frutífera da história sistêmica é o reconhecimento dos efeitos rotacionais. As variantes são diferenciadas nas imagens abaixo. Cada variante de 2 toros pode ser usada com outras das mesmas direcionalidades (opostas), mesclando-as quando empilhadas. Existem, portanto, dois tipos de pilha, invertida ou não. No entanto, uma distinção adicional é possível em termos da rotação em torno do eixo comum. Meshing então requer necessariamente a rotação na mesma direção para toda a pilha, no sentido horário ou anti-horário (como ilustrado anteriormente) - perfazendo um total de 4 padrões verticais e 4 padrões invertidos.

Um outro ponto de interesse é a perspectiva de qualquer pilha ao longo do eixo. Como mostrado na imagem central abaixo, o menor padrão de coração então aparece no centro do que é altamente remanescente de um alvo de alvo convencional - para arco e flecha, dardos, etc - alguns dos quais têm 9 anéis. Seja como uma hierarquia de necessidades ou não, isso pode ser entendido como o foco para a aspiração mais sutil. Visto de outra forma, os 9 níveis da pilha são apropriadamente reminiscentes do design de templos de 9 níveis de algumas culturas (cf. Estêncil de Nove Estórias , Chichen Itza , Tika l) e sua associação com o entendimento de 9 níveis de consciência. Tal nivelamento agora também apresenta alguns jogos online.

Circulação através do vórtice
(Variante A)
Vista para baixo do eixo comum
(9 anéis)
Circulação através do vórtice
(Variante B)
     

Enquadrar o padrão do coração por dois toros implícitos sugere que esse enquadramento também poderia ter sido entendido em termos dos enrolamentos helicoidais em torno de um torus implícito como representado visualmente (no argumento anterior) - ou possivelmente entre toros vizinhos (como sugerido pelo Lissajous curvas). Daí os insights a serem obtidos a partir da dinâmica do gimbal (artigo futuro). Especialmente intrigante é o sentido em que os enrolamentos helicoidais - como uma onda senoidal torcida - poderiam ser considerados como a resolução dinâmica das dinâmicas de rotação longitudinal e latitudinal ilustradas nas animações acima.


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